假设检验是数理统计中的重要组成部分，它不仅是统计推断的核心技术之一，更在现代科学研究与工程实践中扮演着无可替代的角色。所谓假设检验，指的是在不确定性背景下，通过样本数据对总体参数作出推断，从而判断某一关于总体的假设是否成立。这一过程不仅强调逻辑的严密性，更需要基于概率论的数理基础来支撑推断的可靠性。假设检验的应用极为广泛。以生物医药领域为例，新药在投入市场前必须经过严谨的临床试验，以检验其治疗效果是否显著优于现有药物；在工业生产中，质量工程师借助假设检验判断产品是否达到了规定的质量标准，及时发现异常波动；在社会科学中，研究人员通过调查数据分析政策调整是否对某群体产生了显著影响；而在人工智能与机器学习领域，模型性能的比较与评估亦常依赖于假设检验手段，比如检验不同算法的准确率是否存在显著差异。
无论是在科研探索还是工程实践中，假设检验都为我们提供了一种系统而可靠的推断框架和机制，使我们能够在不确定性中作出理性判断。这也正是其在统计学科体系中的核心地位所在。
一、假设检验的基本思想
假设检验（Hypothesis Testing）是统计推断中的核心方法之一，其根本思想源于反证法：不是直接证明某一命题为真，而是假设其为真，然后寻找证据加以否定。这一思想与我们在数学推理中常用的“归谬法”类似，即先设立一个待检验的假设（称为原假设，通常记为\(H_0\)，然后通过样本数据分析，判断是否有足够的证据拒绝它。在假设检验的框架中，另一种与原假设相对立的命题被称为备择假设\(H_1\)，它代表了我们真正想要验证或支持的判断。比如，在药物试验中，我们通常设定原假设为“新药与旧药无差别”，备择假设则为“新药效果优于旧药”。这种思维方式强调我们不能轻易接受主观判断，必须通过数据和概率推理来验证我们的观点是否成立。于是，小概率思想便进入了统计推断的舞台。
1.1 小概率事件
在假设检验中，有一个非常核心的逻辑依据——小概率事件不可能发生。这意味着如果某一事件在原假设成立的前提下，其发生概率极小（例如小于 5%），但它却实际发生了，那么我们就有理由怀疑原假设的真实性。这种思想来自于日常经验：当你连续十次抛硬币都出现正面时，虽然这种情况并非不可能，但在公平硬币的前提下，其概率已经非常小，我们自然会怀疑硬币是否有问题。同样的逻辑，被严谨地引入到统计学中，成为假设检验的核心思想基础。为了形式化这种判断，我们引入了一个重要的参数：显著性水平（Significance Level），通常记为\(\alpha\)。
1.2 显著性水平
\(\alpha\)是我们预先设定的一个阈值，表示在原假设为真的前提下，我们愿意接受“犯错”的最大概率。通常取值为 0.05 或 0.01，对应于 95% 或 99% 的置信程度。换句话说，如果我们设置\(\alpha=0.05\)，那就意味着：即使原假设是真的，我们也允许有最多 5% 的样本结果落入极端情况，而我们可能因此错误地拒绝原假设。这种错误称为第一类错误（Type I Error）。在操作中，我们通过构造一个检验统计量（如\(Z\)值或\(t\)值），并据此计算出一个\(P\)值。这个\(P\)值反映了在原假设成立的前提下，实际观察到的样本结果（或更极端的结果）出现的概率。如果\(P\)值小于显著性水平\(\alpha\)，我们就拒绝原假设，认为数据提供了“统计显著”的证据，支持备择假设。
假设检验的整个逻辑结构，是一个建立在概率推理基础上的“归谬”过程：我们首先默认原假设成立，然后通过数据观测来验证其是否存在“异常”；如果异常的概率足够小，则我们认为原假设不可信，从而支持备择假设。这一过程充分体现了“用数据说话”的科学精神，也要求我们始终保持谨慎与怀疑的态度。
1.3 假设检验的两类错误
在假设检验中，我们通常会围绕一个“原假设”（记为 H₀）与其对立的“备择假设”（记为 H₁）展开推断。而无论我们在样本中得出什么结论，始终存在判断错误的风险。根据错误的类型，我们将其划分为两类：
第一类错误（Type I Error）
第一类错误是指原假设为真，但我们却错误地拒绝了原假设。通俗地说，就是我们“冤枉了一个无辜者”。
例如：一个药厂声称其新药与旧药效果相同，我们的原假设是“新药效果不比旧药强”。如果实际上它们真的一样，但我们在检验中却误认为“新药更好”，那么就犯了第一类错误。
我们用显著性水平 α 表示犯第一类错误的概率，它通常被设置为 0.05 或 0.01。也就是说，我们愿意接受最多 5% 或 1% 的冤判概率。
第二类错误（Type II Error）
第二类错误是指原假设为假，但我们却错误地未拒绝原假设。即：本应推翻原假设，却误以为它正确。
比如：实际上新药的疗效确实优于旧药（即备择假设为真），但由于样本不足或差异不明显，最终得出“没有显著差异”的结论。这就是第二类错误。
我们用 β 表示犯第二类错误的概率。相应地，1 - β 称为检验的功效（power），表示我们能正确识别原假设为假的能力。
在实际应用中，α 与 β 之间存在“此消彼长”的关系：若要降低第一类错误的概率（即提高显著性标准），就可能提高第二类错误发生的可能；反之亦然。因此，在设计检验方案时，我们必须根据具体问题权衡两类错误的风险：在医学、刑事等场景中，常常优先控制第一类错误；而在产品检测、营销试验等领域，有时则更关心第二类错误的减少。
两类错误图
两类错误表
实例解析：新药疗效检验
假设某制药公司开发了一种新药，目标是提升某种疾病的治疗效果。为了验证新药是否比旧药更有效，进行如下假设检验：
原假设 H₀：新药与旧药疗效无显著差异；
备择假设 H₁：新药疗效优于旧药。
如果新药实际上并不优于旧药（原假设为真），但我们误以为它更有效并推出市场，就犯了第一类错误。这可能导致社会资源浪费，甚至影响病人安全。
后果：推广无效药物，给患者带来风险。
控制方式：我们通常设定显著性水平 α = 0.05，即愿意接受最多 5% 的冤判概率。
如果新药确实优于旧药（原假设为假），但我们的数据不够有力，未能识别其优越性，从而继续使用旧药，则犯了第二类错误。
后果：错失更优疗法，延误治疗进展。
控制方式：提高检验功效（如增加样本量）来降低 β。
错误权衡：
医药领域更重视第一类错误（患者安全第一），所以宁可错过一个有效药物（犯第二类错误），也不能贸然推广一个无效或危险药（避免第一类错误）。
但如果新药研发成本巨大、疗效潜力高，企业可能也会高度关注第二类错误，避免“埋没”创新。
这类假设检验问题提醒我们：统计推断不只是“做出判断”，更是一种对风险、后果和不确定性全方位考虑的过程。两类错误的分析，不仅是数学意义上的概率问题，更深刻影响着我们的决策责任与科学伦理。
今天早上阴云密布，我在思考要不要带伞。有两种可能的错误：
一是我带了伞，但最后没下雨；
二是我没带伞，但结果下雨了。
我们无法完全避免这两种错误，但可以通过权衡它们相对的代价来做出决定。大多数人会认为：“宁愿白带伞，也不愿被雨淋”，因为后者的代价更高。但每个人需要根据自己的偏好做出选择。
下方的图形展示了四种情况：
下雨（雨的假设为真）
没下雨（雨的假设为假）
带伞（接受假设）
正确（防雨成功）
类型 II 错误（白带伞）
不带伞（拒绝假设）
类型 I 错误（被淋湿）
正确（轻松出行）
假设场景
两类错误
二、假设检验的一般流程
假设检验是统计推断中用于验证关于总体参数的假设的一个重要工具。在实际应用中，假设检验的目标通常是通过样本数据来判断某一假设是否成立。其过程通常可以分为以下几个步骤：
提出问题：在假设检验的第一步，研究者需要明确要检验的科学问题。这一步至关重要，因为它决定了后续的检验策略。例如，是否存在两个不同治疗方法的效果差异，或某个产品的质量是否符合预期等。在此阶段，问题应该被具化为可以通过数据来验证的假设。
建立假设：接下来，需要提出两个假设。第一个是假设成立时的原假设（H0），通常反映“无效”或“无差异”的观点，例如“两个组的均值相等”。第二个是与原假设对立的备择假设（H1），它代表了“有效”或“存在差异”的观点，如“两个组的均值不相等”。这一步的关键是要清晰地定义假设，以便后续进行检验。
设定显著性水平 α：显著性水平（α）是假设检验中的一个重要参数，通常设定为0.05、0.01等。它表示在原假设为真时，拒绝原假设的概率，也就是允许犯第一类错误的概率。设定显著性水平的目的是为了控制假设检验中的错误率。
选择检验统计量：选择合适的检验统计量取决于所面临的问题类型。例如，对于两个样本均值的比较，通常使用t检验或z检验；对于比例的比较，可能使用卡方检验。检验统计量的选择不仅依赖于研究问题，还需要考虑样本大小、数据的分布特性以及样本是否独立等因素。
计算检验统计量值：检验统计量是根据样本数据计算出的一个数值，用来衡量样本观察结果与原假设之间的偏离程度。不同的假设检验方法有不同的检验统计量，例如 Z 检验中的 Z 值、t 检验中的 t 值、卡方检验中的 χ² 值等。
查找临界值或计算p-值：临界值是根据显著性水平 α 和检验的分布特性查表得到的界限值，用来划分拒绝域和接受域。如果检验统计量落在拒绝域内，就拒绝原假设。另一种方法是计算 p 值，它表示在原假设成立的条件下，检验统计量取得当前或更极端结果的概率。
作出判断：最后一步是根据计算的检验统计量作出判断。可以通过比较检验统计量与临界值来判断是否拒绝原假设。如果计算出的统计量超过临界值，说明检验结果显著，拒绝原假设；如果统计量未超过临界值，则无法拒绝原假设。另外，也可以通过计算p值来作判断，如果p值小于设定的显著性水平α，则拒绝原假设，认为备择假设成立。
假设一家公司开发了一种新药，声称其能够有效地降低血糖水平。为了验证这一声明，公司进行了一个临床试验，并使用随机分配的方法，将参与者分为两组：一组服用新药，另一组服用安慰剂（对照组）。经过一段时间的治疗后，研究者希望检验新药是否在降低血糖方面显著优于安慰剂。为了验证这一点，研究者决定进行假设检验。
提出问题
某医药公司开发了一种新药，声称其能够显著降低血糖水平。为了验证这一主张，公司设计了一个随机对照临床试验，将200名受试者随机分为两组：新药组（100人）和安慰剂组（100人）。经过治疗期，研究者希望判断两组在血糖降低值上的差异是否显著，从而验证新药是否优于安慰剂。
建立假设
原假设\(H_0\)：新药组和安慰剂组在血糖降低效果上没有显著差异。即
\[H_0: \mu_1 = \mu_2
\]
备择假设\(H_1\)：新药组血糖降低效果优于安慰剂组，即
\[H_1: \mu_1 > \mu_2
\]
其中，\(\mu_1\) 和 \(\mu_2\) 分别表示新药组和安慰剂组的血糖降低均值。
设定显著性水平 α
显著性水平α是决定是否拒绝原假设的标准。通常情况下，α被设定为0.05。这意味着如果p值小于0.05，研究者会拒绝原假设，认为结果具有统计学意义，即新药在降低血糖方面显著优于安慰剂。如果p值大于0.05，则无法拒绝原假设，即新药和安慰剂在效果上没有显著差异。
选择检验统计量
为了进行假设检验，研究者需要选择合适的检验统计量。在本案例中，因为研究者的目标是比较两个独立样本的均值，且假设样本量较大（例如每组都有100人），因此可以使用独立样本t检验。独立样本t检验的统计量公式为：
\[t = \frac{(\bar{X_1} - \bar{X_2})}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
\]
其中，\(\bar{X_1}\)和 \(\bar{X_2}\)分别为新药组和安慰剂组的样本均值，\(s_1^2\)和\(s_2^2\)为两组的样本方差，\(n_1\)和\(n_2\) 为两组的样本大小。
计算检验统计量的值
根据样本数据，代入检验统计量，计算检验统计量的值，并根据自由度（可用Welch方法计算）查表得到临界值。根据样本观测值代入公式：
\(\bar{X}_1 = 1.8\)
\(\bar{X}_2 = 1.2\)
\(s_1 = 0.5\)
\(s_2 = 0.6\)
\(n_1 = n_2 = 100\)
代入公式：
\[t = \frac{1.8 - 1.2}{\sqrt{\frac{0.5^2}{100} + \frac{0.6^2}{100}}} = \frac{0.6}{\sqrt{\frac{0.25 + 0.36}{100}}} = \frac{0.6}{\sqrt{\frac{0.61}{100}}} = \frac{0.6}{0.0781} = 7.68
\]
得到 \(t = 7.68\)。
查找临界值或计算 p 值
在自由度约为 \(df = 198\) 下，查 t 分布表，单侧检验显著性水平 \(\alpha = 0.05\) 对应临界值约为 1.645。 显然，\(t = 7.68 > 1.645\)，落在拒绝域。
也可计算 p 值，\(p \approx 0.0000\)，远小于 0.05。
作出判断
\(t = 7.68 > 1.645\)
p 值远小于 0.05
因此，拒绝原假设，接受备择假设，说明在统计意义上新药在降低血糖方面显著优于安慰剂。
通过上述假设检验，研究者得出了结论：由于计算出的t值大于临界值，且p值小于0.05，因此拒绝了原假设。这意味着新药在降低血糖方面的效果显著优于安慰剂。研究者可以据此向医疗行业或相关部门提交申请，希望将该新药推向市场。
假设检验的过程是一个严密且有步骤的推理过程，它帮助我们在不确定的情况下做出基于数据的决策。通过这一流程，研究者能够在科学研究和实践中验证假设，从而得出具有统计学意义的结论。
p-value 定义：
在原假设 \(H_0\) 成立的前提下，观察到的样本统计量值或更极端的结果出现的概率。
公式：
\(p\text{-value} = P(|Z| > |z_{\text{obs}}|) = 2 \cdot P(Z > |z_{\text{obs}}|)\)
其中 \(z_{\text{obs}}\) 是根据样本计算得到的统计量值。
决策规则：
若 \(p\text{-value} < \alpha\)，拒绝 \(H_0\)；
若 \(p\text{-value} \ge \alpha\)，不拒绝 \(H_0\)。
概率区间解释：
p-value 并非某个参数值落入某区间的概率，而是从一个“假设为真”的世界中，计算当前或更极端观测结果的尾部概率。这可以看作一个区间概率：
在右尾检验中：
\(p\text{-value} = P(Z \ge z_{\text{obs}})\)
在左尾检验中：
\(p\text{-value} = P(Z \le z_{\text{obs}})\)
在双尾检验中：
\(p\text{-value} = 2 \cdot P(Z \ge |z_{\text{obs}}|)\)
这相当于在标准正态分布下，对“更极端”的区间求概率。因此：
p-value 小，意味着观测值落入极端区域的概率小，数据对原假设极不支持。
三、假设检验的常用方法
假设检验是统计推断中的核心工具，通常可分为单侧检验与双侧检验两大类。单侧检验用于判断参数是否大于或小于某个特定值，方向性明确，具体又可分为两种类型：左侧检验：检验总体参数是否“小于”某个值，例如检验某种药物是否会降低血压；右侧检验：检验总体参数是否“大于”某个值，例如检验男生平均身高是否大于女生。在单侧检验中，拒绝域位于某一侧（左尾或右尾），适用于问题有明显方向性时。双侧检验则用于判断参数是否与某值“有差异”，不论是偏大还是偏小，例如检验新旧工艺的平均产量是否有差异。其拒绝域位于分布的两端（左右两尾），适用于不确定差异方向的场景。选择单侧还是双侧检验，应依据研究目的与问题背景，避免事后“看结果选方法”，以确保检验结论的科学性与公正性。
左侧检验
右侧检验
双侧检验
方法名称
适用条件
检验目的
常见应用场景
统计量分布
数学公式
Z检验
总体方差已知，或样本量大（n ≥ 30）；数据近似正态
检验总体均值、总体比例
商品合格率、某城市支持率是否超过某值
正态分布
$ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $
t检验
总体方差未知，样本量小（n < 30）；数据来自正态分布
检验总体均值或两个样本均值差异
药效评估、小规模用户调查、教育实验
t分布
$ t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $
双样本Z检验
比较两个总体均值，样本较大或已知方差；两样本独立
检验两个总体均值是否相等
A/B测试、大规模实验组对比
正态分布
$ Z = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} $
独立样本t检验
两组独立样本，总体方差未知；假设样本方差相等或使用调整公式
检验两组均值是否有显著差异
不同教学方法的考试成绩比较
t分布
\(t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}}\) 其中 \(S_p^2 = \frac{(n_1 - 1) s_1^2 + (n_2 - 1) s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\)
配对样本t检验
相同个体两次测量（如治疗前后）；关注差值是否为0
比较同一对象在两种条件下的均值差异
医疗干预前后比较、同一人两种测评成绩
t分布
\(t = \frac{\bar{D}}{s_D / \sqrt{n}}\) 其中 \(\bar{D}\) 为差值均值，\(s_D\) 为差值标准差
卡方独立性检验
两个分类变量，构成列联表；样本量足够大（期望频数 ≥ 5）
检验变量之间是否独立
性别与消费偏好是否相关、地区与投票倾向是否独立
卡方分布
\(chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\) 其中\(O_{ij}\)：观察频数，\(E_{ij}\)：期望频数
卡方适合度检验
单个分类变量是否服从某理论分布
检验样本分布是否与理论分布相符
投点试验结果是否符合均匀分布
卡方分布
同上
F检验（方差比检验）
检验两总体方差是否相等；正态分布、独立样本
方差比较、方差齐性检验
比较产品质量波动性、作为ANOVA前提检验
F分布
\(F = \frac{s_1^2}{s_2^2}\)，通常要求 \(s_1^2 > s_2^2\)
方差分析（ANOVA）
三组及以上的独立样本均值比较；正态且方差齐性
检验多组之间均值是否有显著差异
多种教学方法、不同剂量药物疗效对比
F分布
\(F = \frac{\text{组间方差}}{\text{组内方差}} = \frac{MS_{between}}{MS_{within}}\)
四、假设检验的典型例题
4.1 单样本 t 检验
研究人员正在测试一种新开发的降压药物，声称可以降低收缩压。过去的流行病学研究表明，成年人正常的收缩压平均为 120 mmHg。现在，研究者对 20 名服用了该药的志愿者进行了血压测量，结果发现这组样本的平均收缩压为 116 mmHg，标准差为 8 mmHg。那么，这种药物是否真的在统计上显著降低了血压？
假设设定与方法选择
原假设 H₀：μ = 120（药物对收缩压没有影响）
备择假设 H₁：μ < 120（药物显著降低收缩压）
显著性水平：α = 0.05
由于样本量较小（n = 20），且总体标准差未知，应使用单样本 t 检验，检验方向为左尾检验。
统计量计算
t 统计量的计算公式为：
\[t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}
\]
其中，\(\bar{X} = 116\), \(\mu_0 = 120\), \(s = 8\), \(n = 20\)
R语言实现：
# 单样本 t 检验
n <- 20
x_bar <- 116
s <- 8
mu0 <- 120
# 构造伪样本或用 t.test 的参数接口（如下为快速方式）
t.test(x = NULL, mu = mu0, sd = s, n = n, alternative = "less")
R 输出将包含 t 统计量值、自由度（n-1=19）、p 值。若 p 值小于 0.05，则可以拒绝原假设，说明药物在统计上具有显著的降压效果。
4.2 双样本比例 Z 检验（A/B 页面点击率）
一家电商公司正在进行 A/B 测试，比较两个网页版本的用户点击效果。A 组页面展示给 1000 位用户，有 230 人点击；B 组页面展示给 1200 位用户，有 312 人点击。公司想知道 B 页面是否在点击率上有统计上的优势。
假设设定与方法选择
原假设 H₀：\(p_A = p_B\)（两页面点击率相同）
备择假设 H₁：\(p_A \ne p_B\)（点击率有差异）
显著性水平：α = 0.05
样本量较大，使用双样本比例 Z 检验
点击率分别为 \(\hat{p}_A = 230/1000 = 0.23\)，\(\hat{p}_B = 312/1200 = 0.26\)
统计量计算（手动理解）
\[Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p}) \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}}
\]
其中\(\hat{p} = \frac{230 + 312}{1000 + 1200} = 0.2455\)
R语言实现：
# 比例检验 - 双样本Z检验
clicks <- c(230, 312)
totals <- c(1000, 1200)
# 执行检验，关闭连续性校正
prop.test(clicks, totals, alternative = "two.sided", correct = FALSE)
R 输出提供了统计量值和 p 值。若 p 值小于 0.05，则可以认为点击率在统计上存在显著差异，支持继续使用 B 页面。
4.3 卡方独立性检验（性别与品牌喜好）
市场部门调查了 200 名顾客对某品牌的偏好情况，并记录了他们的性别。构造如下列联表：
性别
喜欢
不喜欢
男性
40
60
女性
70
30
他们希望检验“性别”是否与“品牌偏好”之间有统计上的相关性。
假设设定与方法选择
原假设 H₀：性别与品牌偏好无关（两个变量独立）
备择假设 H₁：性别与品牌偏好有关（两个变量有关联）
显著性水平：α = 0.05
两个变量均为分类变量，使用卡方独立性检验
检验思路
我们构造 2x2 的列联表，计算每个格子的期望频数：
\[E_{ij} = \frac{行和 \times 列和}{总样本数}
\]
之后用卡方统计量：
\[\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
\]
R语言实现：
# 构造列联表
brand_data <- matrix(c(40, 60, 70, 30), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(brand_data) <- c("喜欢", "不喜欢")
rownames(brand_data) <- c("男性", "女性")
brand_table <- as.table(brand_data)
# 执行卡方独立性检验
chisq.test(brand_table)
R 输出提供卡方统计量、自由度及 p 值。如果 p 值小于 0.05，说明性别与品牌偏好之间存在显著关联。此结论对于市场细分与定向营销具有指导意义。
4.4 数据分布的检验
在某市2025年中考模拟考试结束后，教育研究部门收集了某中学39名学生的数学成绩（满分100分）。据相关教学管理要求，模拟考试的成绩分布应当尽可能服从正态分布，以便合理划定各等级分数线。因此，该校老师希望通过统计方法检验这批学生的成绩是否符合正态分布。该批学生成绩如下（单位：分）：
25, 30, 45, 46, 50, 52, 54, 55, 60, 61, 62, 64, 65, 68, 72, 75, 75,
76, 78, 79, 81, 83, 84, 84, 84, 85, 85, 86, 86, 86, 87, 89, 89, 89,
90, 91, 91, 92, 100
# 数据读入
x <- c(25, 30, 45, 46, 50, 52, 54, 55, 60, 61, 62, 64, 65, 68, 72, 75, 75,
76, 78, 79, 81, 83, 84, 84, 84, 85, 85, 86, 86, 86,
87, 89, 89, 89, 90, 91, 91, 92, 100)
# 分组边界
breaks <- c(0, 59, 69, 79, 89, 100)
# 观察频数
observed <- table(cut(x, breaks = breaks, right = TRUE))
# 理论分布概率
mu <- mean(x)
sigma <- sd(x)
cut_points <- c(59, 69, 79, 89, 100)
p_cum <- pnorm(cut_points, mean = mu, sd = sigma)
p <- c(p_cum[1], diff(p_cum)) # 理论概率
# 卡方检验
result <- chisq.test(x = as.vector(observed), p = p, rescale.p = TRUE)
# 输出检验结果
cat("【卡方拟合优度检验结果】\n")
cat("卡方统计量 X-squared =", result$statistic, "\n")
cat("自由度 df =", result$parameter, "\n")
cat("p 值 =", result$p.value, "\n")
# 显著性水平
alpha <- 0.05
if (result$p.value < alpha) {
cat("结论：在显著性水平", alpha, "下，拒绝原假设，认为数据不服从该正态分布。\n")
} else {
cat("结论：在显著性水平", alpha, "下，不能拒绝原假设，认为数据服从该正态分布。\n")
}
总结
假设检验是统计思维的具体体现，它不仅为我们提供了一种严谨、科学的数据判断机制，更教会我们如何在不确定的现实世界中做出合理的决策。通过设定零假设与备择假设，结合样本数据与概率推理，我们能够对总体特征进行有根据的判断，从而避免因主观臆断而带来的错误结论。假设检验的核心，是用数据来反驳或支持某一命题，而非直接“证明”其正确，这种思想贯穿于现代科学研究与工程实践的各个领域。
掌握假设检验的方法与思想，是迈向高级统计分析与建模的必经之路。它不仅为回归分析、方差分析、最大似然估计等奠定基础，也为深度学习模型评估、A/B 测试、产品优化等提供理论支撑。无论你是一名科研工作者，还是从事数据分析、机器学习、人工智能的工程师，假设检验都将是你统计工具箱中不可或缺的重要组成部分。它帮助我们在数据中寻找规律，在不确定性中做出科学判断，是迈向“以数据驱动决策”时代的重要基石。
参考资料
第3 章假设检验| 数理统计讲义
统计学公开课大盘点
统计学入门（三）：假设检验的原理与应用